سلِّط ضوءاً على معدن فتقفز الإلكترونات خارجه — ولكن فقط إذا كان الضوء من اللون المناسب. لقد حطّم التأثير الكهروضوئي الصورة الموجية للضوء، وجاء إصلاح أينشتاين — الفوتون — ليفتح أبواب الفيزياء على مصراعيها.
الوحدة 2 · التجربة التي منحت أينشتاين جائزة نوبل
مبتدئ الوحدة 02 · الضوء والفوتونات ~35 دقيقةالمتطلبات السابقة: الوحدة 1 (فكرة بلانك أن الطاقة تأتي في حزم، \(E = hf\)) والإلمام بالترميز العلمي للأعداد. هذا كل شيء.
قبل أن ندرك كم كان التأثير الكهروضوئي صادماً، علينا أن نرى لماذا كان كل فيزيائي عام 1900 واثقاً تمام الثقة أن الضوء موجة. لم يكن ذلك تخميناً — بل كان مدعوماً بقرن كامل من التجارب البديعة وواحدة من أعظم النظريات التي كُتبت على الإطلاق.
أرسل توماس يونغ الضوء عبر شقّين ضيّقين فحصل على شيء مدهش على الشاشة خلفهما: ليس شريطين مضيئين، بل سلسلة كاملة من الحزم المضيئة والمظلمة المتناوبة. الموجات تفعل هذا بالضبط — حيث تلتقي موجتان قمّةً على قمّة تتعزّزان، وحيث تلتقي قمّة بقاع تتلاشيان. حصاتان مقذوفتان لا يمكن أن تُلغي إحداهما الأخرى؛ أما موجتان متراكبتان فيمكنهما ذلك. التداخل هو بصمة الموجة، والضوء يحملها. (سنضع هذه التجربة تحت المجهر في الوحدة 3 — يكفي الآن أن تعرف أنها موجودة وأنها دليل راسخ على الموجات.)
وحّد جيمس كلارك ماكسويل الكهرباء والمغناطيسية في أربع معادلات — فانبثقت من الرياضيات موجة منتشرة من المجالين الكهربائي والمغناطيسي، تتحرك بسرعة تساوي بالضبط سرعة الضوء المقيسة، \(c = 3.00 \times 10^{8}\) m/s. كانت النتيجة حتمية: الضوء هو موجة كهرومغناطيسية. والأجمل أن النظرية تنبّأت بوجود مثل هذه الموجات عند كل تردد، لا عند الترددات المرئية فحسب. وأكّد هاينريش هيرتز ذلك عام 1887 بتوليد موجات الراديو في مختبره. الراديو، والموجات الدقيقة (الميكروويف)، والأشعة تحت الحمراء، والضوء المرئي، والأشعة فوق البنفسجية، والأشعة السينية، وأشعة غاما — كلها عائلة واحدة، الموجة نفسها بترددات مختلفة.
إليك صورة العائلة. العمود الثالث كشفٌ مسبق لما سيأتي لاحقاً في هذه الوحدة: ما إن تعرف أن الضوء يأتي في حزم طاقة \(E = hf\)، يصبح لكل نطاق من الطيف طاقة فوتون نموذجية أيضاً — وهذا العمود سيفسّر كل شيء من حروق الشمس إلى سبب عجز شبكة الواي-فاي عن إيذائك.
| النطاق | الطول الموجي النموذجي \(\lambda\) | التردد النموذجي \(f\) | طاقة الفوتون النموذجية |
|---|---|---|---|
| الراديو | ~1 m فأطول | ~3 × 108 Hz فأدنى | ~10−6 eV (نحو جزء من مليون من الإلكترون-فولت) |
| الموجات الدقيقة (ميكروويف) | ~1 cm | ~3 × 1010 Hz | ~10−4 eV |
| الأشعة تحت الحمراء | ~10 μm | ~3 × 1013 Hz | ~0.1 eV |
| الضوء المرئي | 400–700 nm | 4.3–7.5 × 1014 Hz | 1.8–3.1 eV |
| الأشعة فوق البنفسجية | ~10–400 nm | ~1015–1016 Hz | ~3–100 eV |
| الأشعة السينية | ~0.01–10 nm | ~1016–1019 Hz | ~100 eV–100 keV |
| أشعة غاما | < 0.01 nm | > 3 × 1019 Hz | > ~100 keV |
الأعمدة الثلاثة مترابطة بإحكام: الطول الموجي والتردد يحققان دائماً \(c = f\lambda\)، وطاقة الفوتون (كما سنرى) هي \(E = hf\). طول موجي طويل ← تردد منخفض ← فوتونات هزيلة. طول موجي قصير ← تردد مرتفع ← فوتونات نشيطة.
التداخل أثبت أن الضوء يسلك سلوك الموجة. وماكسويل شرح أي نوع من الموجات هو. وهيرتز أنتج أبناء العمومة غير المرئيين المتنبَّأ بهم عند الطلب. بحلول عام 1900 لم تكن عبارة «الضوء موجة» فرضية — بل كانت تُعدّ واحدة من أرسخ الحقائق في الفيزياء كلها. وهذا بالضبط ما يجعل ما سيحدث تالياً قصة عظيمة.
التجهيز بسيط إلى حدّ محرج. خذ لوحاً معدنياً، وأحكم إغلاقه داخل أنبوب زجاجي مفرَّغ من الهواء (لتتمكن الإلكترونات من الطيران بحرية)، وضَع قبالته لوحاً ثانياً جامعاً. الآن سلِّط الضوء على المعدن. إذا اقتلع الضوء أي إلكترونات من السطح، فإنها تعبر الفراغ إلى اللوح الجامع، فيسجّل مقياس حساس في الدارة تياراً ضئيلاً. ضوء يدخل، إلكترونات تخرج — هذا هو التأثير الكهروضوئي. وليس أمراً غريباً: فلعقود كانت هذه الأداة المفرَّغة بعينها («الصمام الضوئي») هي العين الكهربائية القياسية في حساسات الضوء وفتّاحات الأبواب الآلية.
تخيّل موجة توصل الطاقة كما تتلاطم أمواج البحر على حصاة على الشاطئ: باستمرار، موزَّعة على السطح كله، شيئاً فشيئاً. في هذه الصورة، الإلكترون القابع في المعدن مثل الحصاة — أدِم الأمواج عليه فيمتصّ الطاقة حتى تكفيه، عاجلاً أو آجلاً، لينخلع. من هنا تنبع ثلاث تنبؤات طبيعية: أي تردد للضوء ينبغي أن يقتلع الإلكترونات في النهاية إذا رفعت السطوع بما يكفي أو انتظرت طويلاً؛ والضوء الخافت ينبغي أن ينجح أيضاً، مع تأخير ريثما تتراكم الطاقة؛ والضوء الأسطع (أمواج أكبر!) ينبغي أن يمنح الإلكترونات الهاربة طاقة أكبر. التنبؤات الثلاثة كلها خاطئة.
| ما تتنبأ به النظرية الموجية | ما يحدث فعلاً | |
|---|---|---|
| (أ) عتبة التردد | أي لون من الضوء ينبغي أن ينجح. دون أي تردد معيّن، يكفي رفع السطوع — فمزيد من الطاقة في الثانية لا بد أن يحرّر الإلكترونات في النهاية. | دون تردد عتبة معيّن (يعتمد على المعدن)، لا يخرج أي إلكترون على الإطلاق — أبداً — مهما بلغ سطوع الضوء المُبهر ومهما طال انتظارك. |
| (ب) التأخير الزمني | في الضوء الخافت يحتاج الإلكترون وقتاً ليمتصّ طاقة كافية — والحسابات قالت دقائق بل ساعات قبل أن يهرب أول إلكترون. | فوق تردد العتبة يكون الانبعاث لحظياً (في حدود النانوثانية)، حتى في ضوء بالغ الخفوت. فأول وميض من ضوء بنفسجي واهن يُخرج الإلكترونات فوراً. |
| (ج) ماذا يفعل السطوع | ضوء أسطع = أمواج أكبر = كل إلكترون مقتلَع ينبغي أن ينطلق بطاقة أكبر. | السطوع لا يغيّر إلا عدد الإلكترونات في الثانية (التيار). أما الطاقة العظمى لكل إلكترون فتعتمد فقط على تردد الضوء — ضوء بنفسجي خافت يتفوّق على ضوء أحمر بسطوع كشّاف في كل مرة. |
تخيّل تلك الأمواج البحرية الوديعة تتلاطم على الحصاة مرة أخرى. تقول النظرية الموجية: أدِمها ولا بدّ أن تنجرف الحصاة في النهاية — فالطاقة طاقة، وهي تتراكم. لكن التجربة تقول ما يعادل: مليون موجة وديعة لا تحقق شيئاً، أبداً، بينما موجة حادة واحدة من النوع الصحيح تقتلع الحصاة فوراً. إيصال الطاقة المستمر الموزَّع لا يمكن ببساطة أن يسلك هذا السلوك. لا بد أن شيئاً ما في طريقة حمل الضوء للطاقة يختلف جوهرياً عن الموجة — وتذكّر أننا أمضينا للتو قسماً كاملاً في إثبات أن الضوء هو موجة. احتفظ بهذا التوتر؛ فهو قلب هذا المساق.
في الوحدة 1 التقينا بماكس بلانك، الذي افترض عام 1900 على مضض أن الأجسام الساخنة تُصدر طاقة الضوء في كتل منفصلة مقدارها \(E = hf\) — حيلة رياضية لم يؤمن بها هو نفسه تماماً. وفي عام 1905، فعل موظف براءات اختراع في السادسة والعشرين اسمه ألبرت أينشتاين شيئاً أجرأ: أخذ بلانك على محمل الجد الكامل. ماذا لو لم تكن الكتل مجرّد حيلة حسابية في طريقة إصدار المادة للضوء؟ ماذا لو كان الضوء نفسه ينتقل ويُمتَصّ على هيئة حزم طاقة غير قابلة للتجزئة — ما نسمّيه اليوم الفوتونات؟
حزمة ضوء تردّدها \(f\) هي سيل من الجسيمات، يحمل كلٌّ منها بالضبط \(E = hf\) من الطاقة، حيث \(h = 6.626 \times 10^{-34}\) J·s هو ثابت بلانك. تردد أعلى يعني فوتونات أكثر طاقة؛ وضوء أسطع يعني فوتونات أكثر عدداً في الثانية — لكن كل حزمة منفردة تبقى بالحجم نفسه.
أضف الآن قاعدة واحدة عن الامتصاص: فوتون واحد يتفاعل مع إلكترون واحد، إما كل شيء أو لا شيء. لا يستطيع الإلكترون أن يرتشف نصف فوتون أو يدّخر عدة فوتونات؛ فهو إما يمتصّ فوتوناً واحداً كاملاً، أو لا يحدث شيء. هذه القاعدة الواحدة تفجّر اللغز بأكمله.
الإلكترونات لا تغادر المعدن مجاناً — فهي مرتبطة به، والإفلات منه يكلّف حداً أدنى من الطاقة يُسمّى دالة الشغل، ويُرمز له بـ \(\phi\) (فاي). اعتبره رسم الخروج الذي يتقاضاه المعدن. وكل معدن يفرض رسماً مختلفاً: نحو 2.28 eV للصوديوم، و1.95 eV للسيزيوم (رسم خروج زهيد شهير، ولهذا استُخدم السيزيوم في الصمامات الضوئية)، ونحو 4.7 eV للنحاس. الإلكترون الذي يمتصّ فوتوناً يدفع الرسم عند خروجه ويحتفظ بالباقي طاقةً حركية (سرعة). وأوفر الإلكترونات حظاً — تلك الموجودة عند السطح تماماً والتي لا تدفع إلا الحد الأدنى — تخرج بأقصى طاقة حركية ممكنة:
$$KE_{max} = hf - \phi$$هذه هي المعادلة الكهروضوئية، وما هي إلا محاسبة طاقة: الطاقة الداخلة (فوتون واحد، \(hf\)) ناقص رسم الخروج (\(\phi\)) يساوي الباقي (الطاقة الحركية). فإذا كان \(hf < \phi\)، عجز الفوتون حتى عن تغطية الرسم — يبقى الإلكترون في مكانه، وتتبدد طاقة الفوتون قليلاً من الحرارة.
تخيّل آلة بيع ذاتي تتقاضى 2.28 «عملة» ثمناً لقطعة الحلوى، ولها قاعدة غريبة واحدة: تقبل عملة واحدة بالضبط في كل عملية ولا تمنح رصيداً محفوظاً. فوتونات الضوء الأحمر عملات قيمتها 1.77. أدخِل واحدة منها — لا شيء. أدخِل عشرة آلاف في الثانية — لا شيء أيضاً، لأن كل عملية عملة واحدة، و1.77 < 2.28 في كل مرة بلا استثناء. العملات لا تتراكم. الآن ناولها عملة بنفسجية واحدة قيمتها 3.10: حلوى فورية، مع باقٍ قدره 0.82. ذلك الباقي هو الطاقة الحركية للإلكترون. السطوع هو ببساطة كم عملة في الثانية تُطعم الآلة؛ والتردد هو كم تساوي كل عملة. وقيمة العملة وحدها هي التي تقرّر إن كان سيحدث شيء.
أعِد تمرير الحقائق الصادمة الثلاث عبر صورة الفوتون:
روبرت ميليكان، الذي لم يصدّق فكرة الفوتون بصراحة، أمضى عقداً كاملاً محاولاً دحض المعادلة تجريبياً — فانتهى به الأمر عام 1916 إلى تأكيدها بتفصيل دقيق، مستخرجاً في الطريق قيمة دقيقة لـ \(h\). وإليك حقيقة تفاجئ الجميع تقريباً: حين فاز أينشتاين بجائزة نوبل في الفيزياء عام 1921، لم يكن ذلك عن النسبية. فنصّ التكريم يقول: «لخدماته للفيزياء النظرية، وخصوصاً لاكتشافه قانون التأثير الكهروضوئي». اعتبرت اللجنة النسبية مثيرة للجدل أكثر مما ينبغي؛ أما معادلة الفوتون فكانت الرهان الآمن المثبت.
الجول وحدة خرقاء عند هذا المقياس — فالفوتون المرئي يحمل نحو 0.0000000000000000004 J. لذا نستخدم الإلكترون-فولت: الطاقة التي يكتسبها إلكترون عند عبوره بطارية جهدها 1 فولت.
1 eV = 1.602 × 10−19 J
بهذه العملة يصبح كل شيء أليفاً: الفوتونات المرئية تحمل 1.8–3.1 eV، ودوال الشغل بين 2–5 eV، والرابطة الكيميائية بضعة إلكترون-فولتات. تحويلان يستحقان الحفظ: للتحويل من الجول إلى الإلكترون-فولت اقسم على 1.602 × 10−19؛ والاختصار \(E \text{ (eV)} \approx 1240 / \lambda \text{ (nm)}\) المشتق من \(E = hc/\lambda\). سنستخدم الإلكترون-فولت باستمرار من الآن فصاعداً.
حان وقت التعويض بالأرقام. سنستخدم في كل ما يلي \(h = 6.626 \times 10^{-34}\) J·s، و\(c = 3.00 \times 10^{8}\) m/s، و1 eV = 1.602 × 10−19 J. كل ما في الأمر ضرب وقسمة وترميز علمي — لا أكثر.
دالة شغل الصوديوم \(\phi = 2.28\) eV. أوجد تردد العتبة وطول موجة العتبة له — الخط الفاصل بين «الإلكترونات تتطاير» و«لا شيء يحدث».
الخطوة 1 — حوّل الرسم إلى جول.
$$\phi = 2.28 \times (1.602 \times 10^{-19}\ \text{J}) = 3.65 \times 10^{-19}\ \text{J}$$الخطوة 2 — تردد العتبة. عند العتبة يغطي الفوتون الرسم بالضبط: \(hf_0 = \phi\)، إذن
$$f_0 = \frac{\phi}{h} = \frac{3.65 \times 10^{-19}\ \text{J}}{6.626 \times 10^{-34}\ \text{J·s}} \approx 5.51 \times 10^{14}\ \text{Hz}$$الخطوة 3 — طول موجة العتبة. باستخدام \(c = f\lambda\):
$$\lambda_0 = \frac{c}{f_0} = \frac{3.00 \times 10^{8}\ \text{m/s}}{5.51 \times 10^{14}\ \text{Hz}} \approx 5.45 \times 10^{-7}\ \text{m} = 545\ \text{nm}$$التفسير: 545 nm هو ضوء أخضر، في منتصف قوس قزح تماماً. أي ضوء بطول موجي أقصر (أخضر مزرقّ، أزرق، بنفسجي، فوق بنفسجي) يقتلع الإلكترونات من الصوديوم؛ وأي شيء أطول لا يفعل شيئاً. تحقق من الطرفين بالاختصار 1240: الضوء الأحمر عند 700 nm يحمل \(1240/700 \approx 1.77\) eV لكل فوتون — أدنى من الرسم البالغ 2.28 eV، أي صفر إلكترونات مهما بلغ السطوع. والبنفسجي عند 400 nm يحمل \(1240/400 \approx 3.10\) eV — أعلى بارتياح، فتخرج الإلكترونات حتى في ضوء بنفسجي خافت.
سلِّط ضوءاً بنفسجياً بطول موجي 400 nm على الصوديوم (\(\phi = 2.28\) eV). ما الطاقة الحركية العظمى للإلكترونات المقتلَعة؟
الخطوة 1 — طاقة الفوتون بالجول. بما أن \(f = c/\lambda\)، يمكننا كتابة \(E = hf = hc/\lambda\):
$$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.626 \times 10^{-34}\ \text{J·s})(3.00 \times 10^{8}\ \text{m/s})}{400 \times 10^{-9}\ \text{m}} = \frac{1.988 \times 10^{-25}\ \text{J·m}}{4.00 \times 10^{-7}\ \text{m}} \approx 4.97 \times 10^{-19}\ \text{J}$$الخطوة 2 — التحويل إلى إلكترون-فولت. لاحظ كيف تُختصر الوحدات: جول مقسوم على جول-لكل-إلكترون-فولت يترك إلكترون-فولت.
$$E = \frac{4.97 \times 10^{-19}\ \text{J}}{1.602 \times 10^{-19}\ \text{J/eV}} \approx 3.10\ \text{eV}$$الخطوة 3 — ادفع رسم الخروج. ولأن الطاقتين صارتا بالعملة نفسها، تصبح المعادلة الكهروضوئية عملية طرح واحدة:
$$KE_{max} = hf - \phi = 3.10\ \text{eV} - 2.28\ \text{eV} = 0.82\ \text{eV}$$التفسير: ينفق كل فوتون بنفسجي 2.28 eV لتحرير الإلكترون ويسلّمه الباقي 0.82 eV حركةً — أي إلكترون يتحرك بنحو 540 km/s. وماذا لو ضاعفت سطوع المصباح؟ ضِعف عدد الإلكترونات في الثانية، وكل منها ما يزال محدوداً بسقف 0.82 eV.
مؤشر ليزر أخضر يُصدر ضوءاً بطول موجي 532 nm بقدرة 5.0 mW (أي 5.0 × 10−3 جول من طاقة الضوء في الثانية). كم فوتوناً يغادره كل ثانية؟
الخطوة 1 — طاقة فوتون واحد.
$$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1.988 \times 10^{-25}\ \text{J·m}}{532 \times 10^{-9}\ \text{m}} \approx 3.74 \times 10^{-19}\ \text{J} \approx 2.33\ \text{eV}$$الخطوة 2 — اقسم القدرة على حجم الحزمة. عدد الفوتونات في الثانية = (الجولات في الثانية) ÷ (الجولات لكل فوتون):
$$N = \frac{5.0 \times 10^{-3}\ \text{J/s}}{3.74 \times 10^{-19}\ \text{J/photon}} \approx 1.3 \times 10^{16}\ \text{photons per second}$$التفسير: ثلاثة عشر مليون مليار فوتون كل ثانية، من لعبة تُعلَّق بسلسلة المفاتيح. هذا هو السبب في أن أحداً لم يلحظ حبيبية الضوء طوال قرنين: مع وصول هذا العدد الهائل من الحزم يبدو الضوء أملس متصلاً تماماً — تماماً كما يبدو كثيب الرمل أملس من بعيد. وتكمن أهمية التأثير الكهروضوئي في أنه تجربة تُضبط فيها الحزم متلبّسة وهي تعمل واحدةً واحدة.
التأثير الكهروضوئي ليس فيزياء متاحف — فمبدأ «فوتون يدخل، إلكترون يخرج» يدير العالم الحديث بهدوء.
اللوح الشمسي هو الفكرة الكهروضوئية بصيغتها الصناعية. في خلية شمسية سيليكونية، كل فوتون مُمتَصّ (إن كان يحمل طاقة كافية — نسخة السيليكون من رسم الخروج نحو 1.1 eV) يقتلع إلكتروناً واحداً داخل المادة، وتقوم بنية الخلية بجرف تلك الإلكترونات إلى دارة كهربائية. ضوء شمس يدخل، تيار يخرج، صفقة فوتون-إلكترون واحدة في كل مرة، مضروبة في تريليونات في الثانية.
كل صورة التقطتها بهاتفك في حياتك هي تجربة عدّ فوتونات. كل بكسل من ملايين البكسلات في الحساس بئر صغيرة حساسة للضوء: الفوتونات الواصلة تحرّر إلكترونات، والبكسل يخزّنها، وبعد التعريض تقرأ الكاميرا حرفياً كم إلكتروناً جمع كل بكسل. منطقة ساطعة = فوتونات كثيرة = إلكترونات كثيرة = بكسل ساطع. و«الضجيج» المرقّط في صور الإضاءة الخافتة هو حبيبية كمومية حقيقية: حين لا يصيب البكسل إلا حفنة من الفوتونات، يتذبذب العدّ تذبذباً مرئياً.
مصباح الشارع الذي يضيء نفسه عند الغسق يستخدم حساساً ضوئياً: ما دام ضوء النهار يسقط عليه، تُبقي الإلكترونات المقتلَعة تياراً جارياً يُبقي المصباح مطفأً؛ وحين ينضب مدد الفوتونات عند الغروب، يتوقف التيار فيشتعل المصباح. والأبواب الآلية القديمة، وستائر الضوء الأمنية، وقارئات الصوت في أشرطة الأفلام، كلها استخدمت الصمامات الضوئية المفرَّغة نفسها التي وصفناها سابقاً.
في أنبوب المضاعف الضوئي، يقتلع فوتون واحد إلكتروناً واحداً من سطح مطليّ؛ ثم يجعل سُلَّم من الألواح المشحونة ذلك الإلكترون يقتلع بضعة إلكترونات أخرى، وهذه بضعة غيرها، حتى يتحول فوتون واحد إلى نبضة قابلة للقياس من ملايين الإلكترونات. هذه الكواشف الأحادية الفوتون تشغّل معدات الرؤية الليلية، وماسحات التصوير المقطعي البوزيتروني الطبية، ومراصد النيوترينو العملاقة المدفونة تحت الجبال — وكلها سليلة أنبوب التأثير الكهروضوئي المتواضع.
عُد إلى عمود طاقة الفوتون في جدول الطيف. إتلاف جزيء في جلدك — كسر رابطة كيميائية — يكلّف بضعة إلكترون-فولتات، وهي صفقة كل-شيء-أو-لا-شيء، تماماً مثل رسم الخروج. فوتون الأشعة فوق البنفسجية يحمل 3–100 eV: فوتون واحد، رابطة مكسورة واحدة — وهذا هو حرق الشمس وتلف الحمض النووي. أما فوتون الراديو فيحمل ~10−6 eV، نحو جزء من مليون من الرسم، والفوتونات لا تستطيع جمع أموالها معاً. لذا فإن برج راديو يضخّ كيلوواتات عبر جسدك طوال اليوم يكسر صفراً من الروابط بالضبط — المنطق نفسه الذي يجعل الضوء الأحمر الساطع يقتلع صفراً من الإلكترونات من الصوديوم. (كثرة الفوتونات المنخفضة الطاقة تستطيع مع ذلك تدفئة الأشياء برفق، وهذا كل ما يفعله فرن الميكروويف.) التردد، لا السطوع، هو الذي يقرّر ما يستطيع الضوء فعله.
الثوابت نفسها كما سبق: \(h = 6.626 \times 10^{-34}\) J·s، و\(c = 3.00 \times 10^{8}\) m/s، و1 eV = 1.602 × 10−19 J — ولا تتردد في استخدام اختصار \(1240/\lambda\). حُلّ كل مسألة على الورق قبل كشف الحل.
للسيزيوم أدنى رسم خروج بين المعادن الشائعة: \(\phi = 1.95\) eV. يصل فوتون أحمر طوله الموجي 650 nm. هل يقتلع إلكتروناً؟ بيّن ذلك بالأرقام.
طاقة الفوتون: \(E = hc/\lambda = (1.988 \times 10^{-25}\ \text{J·m})/(650 \times 10^{-9}\ \text{m}) \approx 3.06 \times 10^{-19}\ \text{J}\). بالتحويل: \(3.06 \times 10^{-19} / 1.602 \times 10^{-19} \approx 1.91\ \text{eV}\) (تحقق بالاختصار: \(1240/650 \approx 1.91\) eV). وبما أن 1.91 eV < 1.95 eV، فإن الفوتون يقصّر عن دالة الشغل — بمقدار 0.04 eV فقط، لكن الصفقة كل-شيء-أو-لا-شيء، لذا لا يُقتلع أي إلكترون. «أدنى من العتبة بقليل» و«أدنى منها بكثير» يعطيان النتيجة نفسها: صفر. (طول موجة العتبة للسيزيوم يساوي نحو 636 nm، لذا فهذا الفوتون ذو الـ 650 nm على الجانب الخطأ من الخط.)
الآن سلِّط ضوءاً بنفسجياً بطول موجي 400 nm على سطح السيزيوم نفسه (\(\phi = 1.95\) eV). احسب \(KE_{max}\) للإلكترونات المقتلَعة، بالإلكترون-فولت.
من المثال المحلول 2 (الطول الموجي نفسه، إذن الفوتون نفسه)، يحمل فوتون الـ 400 nm طاقة \(E = hc/\lambda \approx 4.97 \times 10^{-19}\ \text{J} \approx 3.10\ \text{eV}\). طبّق المعادلة الكهروضوئية: $$KE_{max} = hf - \phi = 3.10\ \text{eV} - 1.95\ \text{eV} = \mathbf{1.15\ \text{eV}}$$ لاحظ المقارنة مع الصوديوم: الفوتون البنفسجي نفسه ترك إلكترونات الصوديوم بـ 0.82 eV فقط، لأن الصوديوم يفرض رسم خروج أعلى (2.28 eV مقابل 1.95 eV). العملة نفسها، رسم مختلف، باقٍ مختلف.
مصباح يسلّط ضوءاً دون العتبة على معدن فلا يقتلع أي إلكترون. يضاعف المجرّب السطوع. فسّر، بلغة الفوتونات، لماذا تبقى النتيجة صفراً بالضبط — وبيّن ما الذي كانت ستفعله مضاعفة السطوع لو كان الضوء فوق العتبة.
مضاعفة السطوع تضاعف عدد الفوتونات في الثانية — ولا تفعل شيئاً في طاقة كل فوتون، المثبَّتة عند \(E = hf\) بفعل تردد الضوء. ولأن كل إلكترون لا يستطيع امتصاص سوى فوتون واحد (كل شيء أو لا شيء، ولا ادّخار)، فإن كل صفقة منفردة ما تزال توصل \(hf < \phi\): الرسم غير مغطّى، فيُرفض كل واحد من الفوتونات (التي صارت ضعف عددها الآن). ضِعف الصفر صفر. الفوتونات دون العتبة لا تتجمع؛ بل تفشل واحداً تلو الآخر، مهما بلغ عددها. أما لو كان الضوء فوق العتبة، لضاعفت مضاعفة السطوع عدد الإلكترونات المقتلَعة في الثانية (ضِعف التيار) — بينما تبقى \(KE_{max}\) كما هي تماماً، أي \(hf - \phi\).
لماذا بدت الصورة الموجية للضوء غير قابلة للزعزعة، وكيف حطّمها التأثير الكهروضوئي بالضبط، وكيف يفسّر فوتون أينشتاين — طاقة تصل في حزم غير قابلة للتجزئة \(E = hf\)، تُنفَق حزمةً لكل إلكترون عبر \(KE_{max} = hf - \phi\) — كل تفصيلة عجزت عنها النظرية الموجية. صرت قادراً على التحويل بين الجول والإلكترون-فولت، وحساب ترددات العتبة والطاقات الحركية، وشرح سبب قدرة ضوء الشمس على حرقك بينما يعجز برج الراديو.
لكن مهلاً. الوحدة 2 أثبتت للتو أن الضوء سيل من الجسيمات… بينما تُثبت تجربة التداخل من «دليلنا الأول»، بالرسوخ نفسه، أن الضوء موجة. كلتا التجربتين صحيحة. كلتاهما قابلة للتكرار. ولا يمكن أن تكون أي منهما القصة كاملة وحدها — ومع ذلك فهما كذلك.
التالي: الوحدة 3 — تجربة الشق المزدوج، حيث نجري تجربة التداخل فوتوناً واحداً في كل مرة ونواجه الغرابة الكاملة وجهاً لوجه: الضوء — وكما سيرينا دي برولي، المادة أيضاً — يسلك سلوك الموجة والجسيم معاً. هذه هي التجربة التي وصفها فاينمان بأنها «اللغز الوحيد» في ميكانيكا الكم. نلقاك هناك.